Um bom recurso para ensinar trigonometria na circunferência. Eu usei e gostei, achei mais lúdico que a utilização do quadro branco.
http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.php
Interessante para os alunos também, que podem quebrar a cabeça com a dinamização que o geogebra possibilita.
Boletim de Einstein
Este é o boletim de um dos pensadores que mais marcou a história da ciência, Albert Einstein.
Agora, pergunto, será que a escola (me incluo aqui), com suas avaliações, ajuda ou atrapalha a formação realmente necessária para se progredir social e cientificamente?
PISA2009
Procurando sobre a avaliação do PISA2009 para saber como o Brasil estava em matemática em relação aos demais países, achei esta página da Veja que traz bastante dados.
http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/pisa-2009/
Vale a pena conferir e ter alguns números que mostram o que sentimos nas escolas presencialmente, a educação brasileira vai mal, muito mal.
http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/pisa-2009/
Vale a pena conferir e ter alguns números que mostram o que sentimos nas escolas presencialmente, a educação brasileira vai mal, muito mal.
Exercícios - Trigonometria 1
Estou escolhendo alguns exercícios para trabalhar trigonometria com meus alunos, aproveito para postar no blog:
DIREITO E MATEMÁTICA: UMA ABORDAGEM INTERDISCIPLINAR
Fiquei pensando hoje, como pode as pessoas decidirem seguir uma carreira de direito porque não quer estudar matemática. Lógico que muito da culpa é do ensino fraco de matemática que existe no país, mas será que as pessoas não enxergam a necessidade da alfabetização matemática em uma sociedade tecnológica (entendam tecnologia aqui como algo mais amplo que os aparatos).
Achei este texto na internet que busca uma ponte (quase filosófica) entre esses dois conhecimentos e resolvi compartilhar.
CLIQUE AQUI PARA ABRIR O ARTIGO
Fonte: http://jusvi.com/artigos/35069
Achei este texto na internet que busca uma ponte (quase filosófica) entre esses dois conhecimentos e resolvi compartilhar.
Direito e matemática: uma abordagem interdisciplinar
por Eduardo Luiz Santos Cabette, Marcius Tadeu Maciel Nahur e Regina Elaine Santos Cabette
CLIQUE AQUI PARA ABRIR O ARTIGO
Fonte: http://jusvi.com/artigos/35069
Livro "Educação Matemática Crítica: a questão da democracia" - Ole Skovsmose
“Uma aplicação da matemática envolve uma ‘interação’ entre a matemática, vista como um tipo de estrutura formal, e um contexto. Por meio da matemática, podemos falar sobre um ‘pedaço da realidade’; podemos usar a matemática como uma base para decisão; podemos nos referir à matemática quando nós, como técnicos, estamos envolvidos em um processo de construção tecnológica etc. Entretanto, como parte do processo de resolução de problema simplificado, somos colocados em um mundo mágico, onde a gramática da matemática encaixa-se no mundo platônico sobre o qual estamos falando”. (SKOVSMOSE, 2001, p. 132)
Este livro é a base teórica que uso em minha dissertação de mestrado. Meu objetivo ao fazer reflexões sobre os textos de Skovsmose é buscar fundamentos para trabalhar a matemática e os modelos matemáticos como um conhecimento humano, ou seja, o reconhecimento que a matemática não é neutra, sem valores e interesses.
Na década de 1980, surge o movimento da educação matemática crítica, que se preocupa sobretudo com os aspectos políticos da educação matemática. Em outras palavras, o questionamento era pautado por perguntas como: a quem interessa que a educação matemática seja organizada dessa maneira? Para quem deve estar voltada? O trabalho de Ole Skovsmose, entretanto, tem como centro a questão da democracia. O autor dessa obra nos alerta que se a perspectiva democrática não estiver presente na educação matemática, esta será apenas uma domesticadora do ser humano em uma sociedade cada vez mais impregnada de tecnologia.
Para professores dinamizarem as aulas
Matemática Multimídia, ou apenas M³, é uma coleção de recursos educacionais multimídia e digitais desenvolvidos pela Unicamp com financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC para o Ensino Médio de Matemática. São mais de 350 recursos educacionais no formato de vídeos, aúdios, softwares e experimentos que ficarão disponíveis gratuitamente para todos que quiserem usar.
O site deste projeto é: http://m3.ime.unicamp.br/portal/index.php
MARIE-SOPHIE GERMAIN
MARIE-SOPHIE GERMAIN (França,1776-1831)
A MATEMÁTICA QUE LANÇOU BASE DO QUE HOJE HÁ DE MAIS AVANÇADO EM ENGENHARIA
¨ Gosto da gota d’água que se equilibra
Na folha rasa, tremendo no vento.¨
Cecília Meireles
Nascimento, J.B – UFPA/ICEN/Matemática
Numa vista rápida enxerga-se nas pirâmides egípcias e em alguns prédios atuais como obras esplêndidas da engenharia de cada época. E o diferencial é abismal: enquanto as pirâmides foram dentro de uma concepção de extrema rigidez, entendendo que vibração é prejudicial, alguns atuais são feito exatamente para balançar durante terremotos e não cair.
Inúmeras pessoas contribuíram nisso, muitos anonimamente e de diversas áreas. E todo que deu foi por fazer dos estudos algo de seriedade e determinação, portanto, superando diversos obstáculos. Nesse caso, o que geralmente é raro, há uma contribuição inédita, fundamental e que surpreende muita gente por ser de uma mulher. Posto que, essas historicamente sofrem de discriminações e mais ainda na área que dessa, matemática, o que ainda hoje é uma trágica realidade brasileira.
MARIE-SOPHIE GERMAIN, francesa, nasceu em 1776, época em que escola para meninas era apenas o suficiente para escrever e ler cartas de amor. Na sua adolescência, em função de grandes agitações sociais, especialmente na sua cidade, Paris, os seus pais colocaram-na para passar o dia na biblioteca, portanto, proibida de sair na rua, quando teria lido e se encantado com a vida e obra do matemático Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C), reconhecidamente um dos maiores matemático e engenheiro de todos dos tempos. Arquimedes foi morto por soldado invasor enquanto transcrevia na área da praia algum resultado, quando havia determinação superior de protegê-lo. Ou seja, mesmo prisioneiro seria valioso aos inimigos.
Germain demonstra interesse significativo por matemática ao ponto do tempo na biblioteca ser insuficiente e adentrar na noite estudando no seu quarto. E além da preocupação com a saúde dessa e da inutilidade que viam na época menina estudar matemática, os seus pais passaram em racionar as suas velas e tudo mais para que ela fosse dormir mais cedo. Entretanto, a obstinação de Germain convenceu-os do quanto nada disso fazia diminuir o interesse por matemática.
Havendo um dado relevante: os seus estudos capacitava, e só interessava, para ingressar na École Polytechnique, que era o centro em termos de Ciência e Tecnologia, entretanto, proibido às mulheres. Pior ainda: mesmo que o seu pai sendo da alta burguesia, nada podia fazer contra isso e, pela agitação social reinante, seria até perigoso cogitar ingresso de mulher no equivalente hoje ao nível superior.
Germain coloca em evidência mais uma vez a sua singular obstinação e descobre haver nessa um que não comparecia: Monsieur Antoine-August Le Blanc, E age como se fosse esse e logo numa disciplina avançada ministrada pelo já famoso na época e seu compatriota, o matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Lagrange toma um susto lendo trabalhos de seus alunos. Como Le Blanc, até então matematicamente obscuro, isso pelo fato de nem lembrar quem seria, tinha evoluído tanto. Ante isso, Lagrange solicita presença na sua sala.
Lagrange teria tomado outro susto maior pela figura que adentra sua sala. É o primeiro a falar obsevando que Le Branc deveria passar péssimos momentos por ter um peitoral tão avantajado. Nisso, Germain releva toda verdade e ganha de Lagrange mais do que admiração, incentivo para estudar matemática.
Paralelamente a isso, Germain, como se fosse Le Blanc, já vinha atravessando fronteiras trocando correspondência com um dos maiores matemático de todos os tempos: Johann Carl Friedrich Gauss (Alemanha, 1777-1855) e ganhara profundo respeito deste por conseguir fazer comentários de alguns dos seus livros sem que esse visse nada que pudesse considerar qualquer fraqueza matemática.
Gauss reconhece da profundidade matemática de alguns trabalhos que recebe do que sabia ser monsieur Le Blanc. Esse só soube da verdade muito depois, 1806, quando recebeu visita de comandante francês que invadiu sua cidade, era a época das conquistas napoleônicas, e o avisa de que estivera salvo de qualquer perigo por pedido direto da sua amiga Sophie Germain. Foi o que ela pode fazer para não correr o risco de reviver o que ocorreu com Arquimedes. Isso mostra que mesmo tendo contato social para tanto, nada pode fazer diretamente contra a proibição de mulher ingressar na École Polytechnique.
Autora de vários resultados originais em matemática, uma das teorias que desenvolveu tinha na raiz o fato de certas vibrações, ao contrário da crença geral, ao invés de destroçar as estruturas, derrubando-as, contribuíam para mantê-las. È nisso, Superfícies Elásticas, que versa um dos seus trabalhos, pelo qual ganhou, em 1816, prêmio da Academia Francesa de Ciência, tornando-se a primeira mulher a ser aceita nessa. E a primeira grande obra de engenharia que se sabe que aplica isso é a Torre Eiffel, inaugurada em 1889 em Paris. E cometeram uma injustiça sem tamanho quando em lápide desta fizeram constar nomes de cientistas e engenheiros que ajudaram na sua concepção, sem que contasse o nome de Sophie Germain.
Finalizando, Gauss submete à universidade de Göttingen, Alemanha, reconhecer trabalho de Germain como tese de doutorado. E quando a documentação de aceite do título chega, a Matemática MARIE-SOPHIE GERMAIN havia falecido de câncer na mama.
Referência
- BOYER, C. B – História da Matemática, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2ª Edição, Ed. Edgard Blücher Ltdda, 1988, Pág. 347
- DISCRIMINAÇÃO TIRA MULHERES DE ÁREAS EXATAS E PREOCUPA GOVERNO, http://ultimosegundo.ig.com.
- EVES, HOWARD - Introdução à história da matemática, tradução: Hygino H. Domingues, 3ª edição, Ed. Unicamp, SP: 2002, pág.524 .
- SOPHIE GERMAIN: AN ESSAY IN THE HISTORY OF THE THEORY OF ELASTICITY,
http://books.google.com/
- TARADA POR NÚMEROS, Revista Galileu
* Este artigo ainda não foi publicado, retirei da lista de discussão ProfsMat. O autor é o professor João Batista Nascimento da UFPA.
Pra descontrair: Sermão da montanha para educadores
Nem o Senhor Jesus aguentaria ser um professor nos dias de hoje....
O SERMÃO DAS MONTANHAS (*versão para educadores*)
Texto de abertura do Programa Rádio Vivo - Rádio Itatiaia, Belo Horizonte - de 15/10/2009, texto do professor Eduardo Machado
Naquele tempo, Jesus subiu a um monte seguido pela multidão e, sentado sobre uma grande pedra, deixou que os seus discípulos e seguidores se aproximassem. Ele os preparava para serem os educadores capazes de transmitir a lição da Boa Nova a todos os homens. Tomando a palavra, disse-lhes:
- "Em verdade, em verdade vos digo: Felizes os pobres de espírito, porque deles é o reino dos céus. Felizes os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados. Felizes os misericordiosos, porque eles..."
Pedro o interrompeu: - Mestre, vamos ter que saber isso de cor?
André disse: - É pra copiar no caderno?
Filipe lamentou-se: - Esqueci meu papiro!
Bartolomeu quis saber: - Vai cair na prova?
João levantou a mão: - Posso ir ao banheiro?
Judas Iscariotes resmungou: - O que é que a gente vai ganhar com isso?
Judas Tadeu defendeu-se: - Foi o outro Judas que perguntou!
Tomé questionou: - Tem uma fórmula pra provar que isso tá certo?
Tiago Maior indagou: - Vai valer nota?
Tiago Menor reclamou: - Não ouvi nada, com esse grandão na minha frente.
Simão Zelote gritou, nervoso: - Mas porque é que não dá logo a resposta e pronto!?
Mateus queixou-se: - Eu não entendi nada, ninguém entendeu nada!
Um dos fariseus, que nunca tinha estado diante de uma multidão nem ensinado nada a ninguém, tomou a palavra e dirigiu-se a Jesus, dizendo:
- Isso que o senhor está fazendo é uma aula? Onde está o seu plano de curso e a avaliação diagnóstica? Quais são os objetivos gerais e específicos? Quais são as suas estratégias para recuperação dos conhecimentos prévios?
Caifás emendou: - Fez uma programação que inclua os temas transversais e atividades integradoras com outras disciplinas? E os espaços para incluir os parâmetros curriculares gerais? Elaborou os conteúdos conceituais, processuais e atitudinais?
Pilatos, sentado lá no fundão, disse a Jesus:
- Quero ver as avaliações da primeira, segunda e terceira etapas e reservo-me o direito de, ao final, aumentar as notas dos seus discípulos para que se cumpram as promessas do Imperador de um ensino de qualidade. Nem pensar em números e estatísticas que coloquem em dúvida a eficácia do nosso projeto. E vê lá se não vai reprovar alguém! Lembre-se que você ainda não é professor titular...
Jesus deu um suspiro profundo, pensou em ir à sinagoga e pedir aposentadoria proporcional aos trinta e três anos. Mas, tendo em vista o fator previdenciário e a regra dos 95, desistiu. Pensou em pegar um empréstimo consignado com Zaqueu, voltar pra Nazaré e montar uma padaria... Mas olhou de novo a multidão. Eram como ovelhas sem pastor... Seu coração de educador se enterneceu e Ele continuou:
-"Felizes vocês, se forem desrespeitados e perseguidos, se disserem mentiras contra vocês por causa da Educação. Fiquem alegres e contentes, porque será grande a recompensa no céu. Do mesmo modo perseguiram outros educadores que vieram antes de vocês".
Tomé, sempre resmungão, reclamou:
- Mas só no céu, Senhor?
- Tem razão, Tomé - disse Jesus - há quem queira transformar minhas palavras em conformismo e alienação. Eu lhes digo, NÃO! Não se acomodem. Não fiquem esperando, de braços cruzados, uma recompensa do além. É preciso construir o paraíso aqui e agora, para merecer o que vem depois... E Jesus concluiu:
- Vocês, meus queridos educadores, são o sal da terra e a luz do mundo...
O SERMÃO DAS MONTANHAS (*versão para educadores*)
Texto de abertura do Programa Rádio Vivo - Rádio Itatiaia, Belo Horizonte - de 15/10/2009, texto do professor Eduardo Machado
Naquele tempo, Jesus subiu a um monte seguido pela multidão e, sentado sobre uma grande pedra, deixou que os seus discípulos e seguidores se aproximassem. Ele os preparava para serem os educadores capazes de transmitir a lição da Boa Nova a todos os homens. Tomando a palavra, disse-lhes:
- "Em verdade, em verdade vos digo: Felizes os pobres de espírito, porque deles é o reino dos céus. Felizes os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados. Felizes os misericordiosos, porque eles..."
Pedro o interrompeu: - Mestre, vamos ter que saber isso de cor?
André disse: - É pra copiar no caderno?
Filipe lamentou-se: - Esqueci meu papiro!
Bartolomeu quis saber: - Vai cair na prova?
João levantou a mão: - Posso ir ao banheiro?
Judas Iscariotes resmungou: - O que é que a gente vai ganhar com isso?
Judas Tadeu defendeu-se: - Foi o outro Judas que perguntou!
Tomé questionou: - Tem uma fórmula pra provar que isso tá certo?
Tiago Maior indagou: - Vai valer nota?
Tiago Menor reclamou: - Não ouvi nada, com esse grandão na minha frente.
Simão Zelote gritou, nervoso: - Mas porque é que não dá logo a resposta e pronto!?
Mateus queixou-se: - Eu não entendi nada, ninguém entendeu nada!
Um dos fariseus, que nunca tinha estado diante de uma multidão nem ensinado nada a ninguém, tomou a palavra e dirigiu-se a Jesus, dizendo:
- Isso que o senhor está fazendo é uma aula? Onde está o seu plano de curso e a avaliação diagnóstica? Quais são os objetivos gerais e específicos? Quais são as suas estratégias para recuperação dos conhecimentos prévios?
Caifás emendou: - Fez uma programação que inclua os temas transversais e atividades integradoras com outras disciplinas? E os espaços para incluir os parâmetros curriculares gerais? Elaborou os conteúdos conceituais, processuais e atitudinais?
Pilatos, sentado lá no fundão, disse a Jesus:
- Quero ver as avaliações da primeira, segunda e terceira etapas e reservo-me o direito de, ao final, aumentar as notas dos seus discípulos para que se cumpram as promessas do Imperador de um ensino de qualidade. Nem pensar em números e estatísticas que coloquem em dúvida a eficácia do nosso projeto. E vê lá se não vai reprovar alguém! Lembre-se que você ainda não é professor titular...
Jesus deu um suspiro profundo, pensou em ir à sinagoga e pedir aposentadoria proporcional aos trinta e três anos. Mas, tendo em vista o fator previdenciário e a regra dos 95, desistiu. Pensou em pegar um empréstimo consignado com Zaqueu, voltar pra Nazaré e montar uma padaria... Mas olhou de novo a multidão. Eram como ovelhas sem pastor... Seu coração de educador se enterneceu e Ele continuou:
-"Felizes vocês, se forem desrespeitados e perseguidos, se disserem mentiras contra vocês por causa da Educação. Fiquem alegres e contentes, porque será grande a recompensa no céu. Do mesmo modo perseguiram outros educadores que vieram antes de vocês".
Tomé, sempre resmungão, reclamou:
- Mas só no céu, Senhor?
- Tem razão, Tomé - disse Jesus - há quem queira transformar minhas palavras em conformismo e alienação. Eu lhes digo, NÃO! Não se acomodem. Não fiquem esperando, de braços cruzados, uma recompensa do além. É preciso construir o paraíso aqui e agora, para merecer o que vem depois... E Jesus concluiu:
- Vocês, meus queridos educadores, são o sal da terra e a luz do mundo...
Material Geometria Plana
Conversando com alguns alunos percebi que há uma defasagem grande em relação a geometria plana dada no ensino fundamental. Então, resolvi procurar algum material disponível na net para quem quiser trabalhar nele.
Só de perímetro e área:
http://www.4shared.com/get/No0XsWwe/MATEMTICA_GEOMETRIA_PLANA_-_AR.html
Com alguns exercícios de vestibular resolvidos:
http://www.4shared.com/get/hjgYC6BM/Matemtica_-_Exerccios_Resolvid.html
http://www.4shared.com/get/grjToR6Y/Matemtica_-_Exerccios_Resolvid.html
Mais um tanto de exercícios:
http://www.4shared.com/get/LRIFolsZ/Questes_geometria_plana_UFC.html
Para quem não tem nenhum aporte teórico para estudar, arrumei um material do TC2000 que tem o básico para começar:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B6xh3HiDgvayMTkwODgyNmItMTIyNi00NTYzLWEwYWMtM2UxM2Y1MzhhMGRh&hl=pt_BR
Bons estudos!!!
Só de perímetro e área:
http://www.4shared.com/get/No0XsWwe/MATEMTICA_GEOMETRIA_PLANA_-_AR.html
Com alguns exercícios de vestibular resolvidos:
http://www.4shared.com/get/hjgYC6BM/Matemtica_-_Exerccios_Resolvid.html
http://www.4shared.com/get/grjToR6Y/Matemtica_-_Exerccios_Resolvid.html
Mais um tanto de exercícios:
http://www.4shared.com/get/LRIFolsZ/Questes_geometria_plana_UFC.html
Para quem não tem nenhum aporte teórico para estudar, arrumei um material do TC2000 que tem o básico para começar:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B6xh3HiDgvayMTkwODgyNmItMTIyNi00NTYzLWEwYWMtM2UxM2Y1MzhhMGRh&hl=pt_BR
Bons estudos!!!
Video-aulas G1
http://g1.globo.com/videos/vestibular-e-educacao/
Livro "A construção das ciências - introdução à filosofia e à ética das ciências" - Gérard Fourez
A primeira vez que li este livro não entendi muita coisa dos conceitos filosóficos, só entendi que a ciência não é uma atividade neutra e é cercada de valores e ideologias. Mas, hoje entendendo um pouco melhor sobre filosofia da ciência, percebo que é isso mesmo que o autor quer passar com os seus argumentos. Tem uma leitura mais simples, pois o autor antes de filosofo é um cientista, formado em Física, e tem como objetivo "promover reflexões".
"Esta obra se destina àqueles que desejam compreender as práticas científicas e a sua inserção em nossa vida individual e coletiva. Ela mostra de que modo o esforço científico é permanentemente relacionado com um projeto humano. Salienta assim o sentido humano da ciência, criatividade que lhe é inerente; esclarece também a maneira pela qual ela é produzida pela sociedade, e como repercute sobre a mesma. Trata-se por conseguinte de uma obra de reflexão filosófica e ética."
Livro "Educação Matemática: Pesquisa em Movimento" - Maria Aparecida Viggiani Bicudo e Marcelo C. Borba (orgs.)
O livro que foi o grande responsável pela minha decisão de fazer pesquisa em Educação Matemática, é uma apagado de vários artigos com diversos aportes teóricos e metodológicos de pesquisa na área. Vale a pena! Tem excelentes artigos.
O movimento da pesquisa gera uma ambigüidade interna e inerente ao
próprio processo: modifica, diferencia, mantém. Assim, o conjunto de
textos e de autores que aqui escrevem, embora expressem perspectivas
diferentes, apresentam convergências significativas. Uma, referente ao
respeito e ã aceitação da diversidade do pensamento e da produção do
conhecimento, que costuma-se chamar "matemático" e a busca pela
compreensão de suas raízes, o que explica várias menções à
etnomatemática. Outra, revela a preocupação desse grupo com o ir além
dos feitos e dos "fatos" e perseguir o entendimento da própria produção
do conhecimento.
O conjunto de textos e de autores que aqui escrevem, embora expressem
perspectivas diferentes, apresentam convergências significativas. Uma,
referente ao respeito e à aceitação da diversidade do pensamento e da
produção do conhecimento, que se costuma chamar “matemático” e a busca
pela compreensão de suas raízes, o que explica várias menções à
etnomatemática. Outra, revela a preocupação desse grupo em perseguir o
entendimento da própria produção do conhecimento.
Teorema de Pitágoras - histórias e demonstrações
Resolvi buscar na internet a respeito da demonstração do Teorema de Pitágoras. Óbvio que não seria possível fazer isso sem trazer alguma história da matemática junto. Então vamos ao que julguei interessante.
Pra começar o "bom" Wikipedia sempre tem alguma informação para nos apresentar:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
Site portuga:
http://criar.no.sapo.pt/provas.htm
Achei também esta "Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do título de Especialista" de Juliane Amaral de Oliveira que têm duas demonstrações e algumas possíveis atividades pra professores desenvolverem.
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Juliane.pdf
E uma "Dissertação apresentada como exigência parcial para obtenção do título de mestre em Educação Matemática à Comissão Examinadora da PUC-SP, sob orientação do Professor Dr. Saddo Ag Almouloud" de Irma Verri Bastian:
http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/irma_verri_bastian.pdf"
A equipe da OBMEP também não poderia deixar de contribuir com Eduardo Wagner:
http://server09.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2008/Apostila3-teorema_de_pitagoras.pdf
Alguns apllets com Geogebra:
http://joelsonlima.blogspot.com/2011/04/teorema-de-pitagoras.html
http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/0/36/02/00/GeoGebra/Teorema_de_Pitagoras_demo.html
http://compare.buscape.com.br/categoria?id=3482&lkout=1&kw=Pitagoras+e+Seu+Teorema+-+Em+90+Minutos+-+Strathern,+Paul&mdsrc=23300132
A mídia abaixo da média, por Luis Nassif
Coluna Econômica - 14/09/11 - Disponível no blog do Luis Nassif.
Poucas vezes se viu um episódio coletivo de mídia tão nonsense quanto o da divulgação dos resultados do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio).
Os resultados foram dentro do esperado: melhoria de 10 pontos na média geral. Em 2009 o ENEM estava em 500 pontos. A meta era chegar ao longo da década em 600 pontos – o que significaria melhorar 10 pontos por ano. Apesar do aumento de inscritos – de 828 mil para 1,011 milhão – chegou-se aos 10 pontos.
***
De repente, o noticiário online foi invadido por estranhas manchetes: a de que a maioria dos alunos do ENEM tinha ficado “abaixo da média”. O jornal O Globo foi fulminante: “Mais da metade dos estudantes ficou abaixo da média do Enem 2010”. Na UOL, não se deixou por menos: “Enem "reprova" 63,64% das escolas”. Esse número equivale àquelas que ficaram abaixo da média.
***
Criou-se um samba do crioulo doido. Na maioria absoluta das estatísticas, a tendência é se ter uma maioria abaixo da média. Se todos melhoram, a média melhora, mas sempre continuará tendo uma parte abaixo da média e outra acima.
Suponha uma classe de 7 pessoas, com 3 notas 5, 2 notas 4 e uma nota 3. A média será 4,28. Logo, 43% (três alunos) estarão acima da média e 57% (4 alunos) abaixo da média. Suponha agora que a classe melhore e fique com 2 notas 10 e 5 notas 7. A média será 7,86. Mas 71% dos alunos estarão abaixo da meta contra 29% acima.
***
Na entrevista coletiva sobre o ENEM, praticamente todos os jornalistas insistiam na informação de que a maioria das notas tinha sido abaixo da média. O samba endoidou tanto que a presidente Dilma Rousseff chamou o Ministro Fernando Haddad ao Palácio, para saber que loucura era aquela.
O diálogo foi mais ou menos assim:
Dilma: Haddad, como é isso? Eles estão dando que há muitas escolas abaixo da média. Como surgiu essa confusão? Não sabem o que é a média em uma estatística?
Haddad – Presidente, o que posso fazer? Passei a tarde explicando para eles o conceito de média na estatística. Tentei explicar o que era uma distribuição estatística, que em geral forma uma curva, que a média (média aritmética de um conjunto de números) e a mediana (maior frequência de números na amostragem) são muito próximas, mas pareciam não entender. Cheguei a sugerir que ligassem para um matemático, um estatístico para se informarem, porque daqui a vinte, trinta, cinquenta anos, vão fazer a mesma conta (do percentual de notas abaixo da média) e vai dar a mesma coisa.
***
Foi em vão. Dilma encerrou a conversa dizendo que iriam especular que a convocação de Haddad ao Palácio teria sido para se explicar.
Chamou o líder do governo na Câmara, Cândido Vacarezza, presente à reunião, e pediu que desse uma entrevista informando que a presidente tinha ficado satisfeita com o resultado e manifestava sua preocupação com a confusão que a imprensa fizera com o conceito de média.
Pediu ainda que Vacarezza fizesse uma última tentativa de explicar o que era média aritmética.
Vacarezza explicou. Mas a confusão aumentou mais ainda.
Os resultados foram dentro do esperado: melhoria de 10 pontos na média geral. Em 2009 o ENEM estava em 500 pontos. A meta era chegar ao longo da década em 600 pontos – o que significaria melhorar 10 pontos por ano. Apesar do aumento de inscritos – de 828 mil para 1,011 milhão – chegou-se aos 10 pontos.
***
De repente, o noticiário online foi invadido por estranhas manchetes: a de que a maioria dos alunos do ENEM tinha ficado “abaixo da média”. O jornal O Globo foi fulminante: “Mais da metade dos estudantes ficou abaixo da média do Enem 2010”. Na UOL, não se deixou por menos: “Enem "reprova" 63,64% das escolas”. Esse número equivale àquelas que ficaram abaixo da média.
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Criou-se um samba do crioulo doido. Na maioria absoluta das estatísticas, a tendência é se ter uma maioria abaixo da média. Se todos melhoram, a média melhora, mas sempre continuará tendo uma parte abaixo da média e outra acima.
Suponha uma classe de 7 pessoas, com 3 notas 5, 2 notas 4 e uma nota 3. A média será 4,28. Logo, 43% (três alunos) estarão acima da média e 57% (4 alunos) abaixo da média. Suponha agora que a classe melhore e fique com 2 notas 10 e 5 notas 7. A média será 7,86. Mas 71% dos alunos estarão abaixo da meta contra 29% acima.
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Na entrevista coletiva sobre o ENEM, praticamente todos os jornalistas insistiam na informação de que a maioria das notas tinha sido abaixo da média. O samba endoidou tanto que a presidente Dilma Rousseff chamou o Ministro Fernando Haddad ao Palácio, para saber que loucura era aquela.
O diálogo foi mais ou menos assim:
Dilma: Haddad, como é isso? Eles estão dando que há muitas escolas abaixo da média. Como surgiu essa confusão? Não sabem o que é a média em uma estatística?
Haddad – Presidente, o que posso fazer? Passei a tarde explicando para eles o conceito de média na estatística. Tentei explicar o que era uma distribuição estatística, que em geral forma uma curva, que a média (média aritmética de um conjunto de números) e a mediana (maior frequência de números na amostragem) são muito próximas, mas pareciam não entender. Cheguei a sugerir que ligassem para um matemático, um estatístico para se informarem, porque daqui a vinte, trinta, cinquenta anos, vão fazer a mesma conta (do percentual de notas abaixo da média) e vai dar a mesma coisa.
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Foi em vão. Dilma encerrou a conversa dizendo que iriam especular que a convocação de Haddad ao Palácio teria sido para se explicar.
Chamou o líder do governo na Câmara, Cândido Vacarezza, presente à reunião, e pediu que desse uma entrevista informando que a presidente tinha ficado satisfeita com o resultado e manifestava sua preocupação com a confusão que a imprensa fizera com o conceito de média.
Pediu ainda que Vacarezza fizesse uma última tentativa de explicar o que era média aritmética.
Vacarezza explicou. Mas a confusão aumentou mais ainda.
Livro "Ensino-aprendizagem com modelagem matemática" - Rodney Bassanezi
Este livro é leitura obrigatória para quem inicia pesquisa em modelagem matemática no ensino.
A primeira vez que encontrei o professor Bassanezi foi inesperado. Cheguei no GT de modelagem em que devia falar sobre meu artigo no XV EBRAPEM (Encontro Brasileiro de Pós-graduando em Educação Matemática), o professor Marcelo Câmara que era o coordenador do GT disse que estaria ali por pura formalidade pois não teria o que falar já que o professor ... (não escutei o nome na hora) estava presente.
Só fui me tocar que o tal professor era o professor Bassanezi quando o primeiro mestrando que ia apresentar o trabalho disse que era uma honra estar na presença dele.
Posso afirmar que o autor desse livro é alguém que acredita no que faz e o faz de forma muito humana.
Tem uma frase dele que ficou na minha memória desde o GT: "Basta começar a contar e medir que o resto os alunos vão apontando que aprofundamento da matemática eles são capazes de ir no processo de modelagem."
Os números não mentem jamais. Será? (Revista SuperInteressante)
Uma ótima matéria que mostra que modelos matemáticos não são exatos, mas apenas precisos quando bem formulados, o que depende da vontade humana.
http://super.abril.com.br/superarquivo/1994/conteudo_114320.shtml
Como são feitas as pesquisas e as estatísticas.
Fulano está com 34% de intenções de voto.
Fome atinge 32 milhões de brasileiros.
São realizados 4 milhões de abortos por ano no Brasil.
Por Thereza Venturoli
O homem nem sequer sonhava com eleições de massa, contabilização da miséria ou de abortos quando Santo Agostinho, no século VI, alertou os bons cidadãos contra os matemáticos e todos aqueles que fazem profecias vazias. Segundo Agostinho, o perigo é que eles tenham feito um pacto com o Diabo para obscurecer o espíritio e manter o homen no cativeiro do Inferno.
Pactos demoníacos à parte, ainda hoje é com uma boa dose de ceticismo que o brasileiro encara as chamadas estatísticas. Não importa o que pretendam retratar como vai a saúde ou a economia do país, o que pensa ou como se coporta a população , os grandes números calculados por órgãos oficiais ou institutots particulares são, senão diabólicos, pelo menos muito misteriosos.
A desconfiança tem seus motivos. O brasileiro está se acostumando a assistir a infindáveis bate-bocas sobre a validade dos números que lê. Até parece que atrás de uma pesquisa corre sempre uma polêmica. Quando dois especialistas falam, os que não são do ramo abaixam a orelha. Assim, quem não conhece a metodologia, não sabe o que é variável e nunca viu de perto a tal margem de erro, fica nadando num mar de dúvidas.
Afinal, pode-se ou não confiar no que os números dizem? A dúvida é tanta que o brasileiro já incorporou uma nova palavra ao seu vocabulário: chutometria. O termo pode ser definido como sistema de medir por meio de chutes, quer dizer, por palpites.
Mas nem tudo é tão obscuro ou vago no mundo das estatísticas. A verdade é que elas são fundamentais para a compreensão da realidade. O problema é interpretá-las corretamente. É preciso distinguir, primeiro, os dois tipos de estatísticas as calculadas por amostragem, como as pesquisas sobre a intenção de voto, e as que envolvem a contagem pura e simples, como o censo da população, feito pelo IBGE. Deve-se saber também que há algumas regras básicas empregadas na contabilidade e na generalização dos dados obtidos. E tomar alguns cuidados pra não cair em ciladas.
A única maneira de se conferir o resultado exato de uma eleição é realizá-la hoje mesmo, afirma o estatístico Carlos Alberto de Bragança Pereira. Como isso é impossível, temos de utilizar os métodos de pesquisa por amostragem. Bragança Pereira é diretor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (USP) e foi consultor da Organização dos Estados Americanos (OEA) nas eleições presidenciais do Haiti, El Salvador e Nicarágua.
A amostragem é um dos principais instrumentos da Estatística a área da matemática que lida com os grandes números. Os estatísticos preocupam-se com o levantamento, a organização e a análise dos dados de um conjunto a população de um país, as mulheres de uma cidade ou as moléculas do corpo humano. Isso pode ser feito de duas maneiras: contando todos os elementos do conjunto (quando isso é possível), ou contando uma pequena parte e calculando os re-sultados globais por generalização.
Amostra é uma fatia separada para estudo do universo. É como se alguém quisesse descobrir os ingredientes de um bolo de chocolate sem desmilingüir o bolo inteiro e cortasse, para análise, apenas um pedaço.
Se a farinha, o fermento, o chocolate e os outros elementos estão bem misturados na massa, a proporção empregada de cada ingrediente pode ser inferida de uma fatia qualquer. No caso das pesquisas eleitorais no Brasil, os ingredientes do bolo de 100 milhões de eleitores não estão bem misturados. Apesar disso, podemos chegar a uma projeção muito próxima da realidade falando apenas com uma fatia desse conjunto, de 2 500 pes-soas, garante a estatística Renata Nunes César, gerente do Datafolha, instituto ligado ao jornal Folha de S. Paulo.
A base do método de análise de um todo por suas fatias é a teoria da probabilidade, criada por dois importantíssimos pensadores do século XVII o filósofo, matemático e físico francês Blaise Pascal (1623-1662) e o matemático, também francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Em 1654, eles foram desafiados por grandes apostadores a calcular quanto uma pessoa poderia ganhar ou perder em jogos de moedas, dados, cartas e roleta. Foi assim que surgiram as fórmulas matemáticas que definem as chances de um evento ocorrer.
Hoje, a Estatística é ferramenta indispensável em todas as ciências, biológicas, exatas e sociais. Mas não se pode dizer que seja, ela própria, uma ciência, afirma Bragança Pereira. Não se trata, tampouco, de adivinhação ou magia. É um método de ‘fotografar' o presente e fazer projeções para o futuro.
Para a foto sair com um bom foco, a parcela a ser estudada tem de ser bem escolhida. Voltando ao exemplo do bolo eleitoral brasileiro, para descobrir a quantidade de cada ingrediente que a receita leva, não basta analisar um naco qualquer. É necessário pegar pedaços diferentes e montar uma fatia que seja re-presentativa do bolo inteiro.
Para começar, as pessoas não estão distribuídas igualmente pelo territó-rio nacional. Algumas áreas têm uma po--pulação maior que outras. É preciso fazer entrevistas em proporção à densidade das regiões.
Até esse ponto, os institutos de pesquisa empregam o mesmo sistema de definição da amostra por sorteio e proporcionalidade, explica Örjan Olsén. Sueco, no Brasil há 41 anos, Olsén foi diretor do Ibope e hoje dirige sua própria empresa, a Companhia Brasileira de Pesquisa e Análise (CBPA), em São Paulo. Daí para diante, podem-se seguir dois métodos diferentes: a amostragem probabilística ou por quotas.
Pelo método probabilístico, tudo tem de ser sorteado dentro de cada setor da cidade: primeiro, o quarteirão, depois, o domicílio e, dentro do domicílio, a pessoa a responder o questionário.
Para representar a totalidade dos eleitores brasileiros, os entrevistados têm de se encaixar nos diferentes tipos de pessoas que existem no país. São as chamadas variáveis características, como sexo, idade, ocupação, nível de instrução e si-tuação sócio-econômica, que influem na opinião e no voto de cada um. É a própria experiência que nos mostra quais variáveis devem ser levadas em conta, afirma o veterano estatístico José Severo de Camargo Pereira, professor aposentado da USP e consultor do Instituto Gallup.
Assim, como a população brasileira é composta 50% por homens e outros 50% por mulheres, aproximadamente, o número total de entrevistas tem sempre de ser feito dentro dessa proporção.
Para garantir a proporcionalidade da amostra probabilística, temos um pe-queno pulo-do-gato, conta Severo. Qualquer distorção é corrigida por alguns cálculos matemáticos simples. Essas continhas de chegar são as cha-madas ponderações.
Na pesquisa por quotas, é diferente. Antes de começarem as entrevistas, é determinado quantas pessoas de cada tipo terá de haver no final. Então, o entrevistador já sai procurando um número definido de eleitores para compor a proporção representativa de cada variável.
O principal objetivo do planejamento rigoroso da amostra é garantir a menor margem de erro na pesquisa. Margem de erro significa exatamente o que o nome diz um intervalo controlado dentro do qual podem variar os resultados finais. Ou seja, um estudo bem planejado não elimina o erro, apenas o limita.
O que pode parecer um preciosismo metodológico é muitas vezes o detalhe que faz a diferença. Imagine que o can-didato A tem 34% das intenções de voto e o candidato B, 30%, numa pesquisa com margem de erro de 3%, bastante comum no Brasil. Isso significa que o instituto só afirma que o candidato A está com algo entre 31% e 37% das intenções de voto, e o candidato B, com 27% a 33% das preferências. Eles podem, portanto, estar empatados, com 33%, ou afastados em até dez pontos percentuais. Prestar atenção na margem de erro é o tipo de cuidado que ajuda a avaliar corretamente as porcentagens que bombardeiam o cidadão.
Veja este resultado do censo de 1980: o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) levantou na ocasião que havia no Brasil 41.974.865 pessoas casadas, sendo 21.029.031 homens e 20.945.834 mulheres. Percebeu alguma coisa errada? Claro, se no Brasil legalmente só existe casamento monogâmico e heterossexual (isto é, cada homem só pode se casar com uma e apenas uma única mulher), como é que pode haver um número maior de maridos do que de esposas? É que o IBGE entrevistou pessoas de 15 anos de idade ou mais, explica Severo. Como no interior do país é comum as mulheres se casarem até com 13 anos, estas ficaram fora da contagem.
Este é um exemplo de escorregão metodológico. Mas os números podem enganar de outras maneiras. Um erro no sistema de levantamento de dados, na composição da amostra, na elaboração do questionário ou na interpretação dos resultados, sem falar na forma de divulgação, podem ser fontes de equívoco.
Muitas vezes os números que retratam a realidade brasileira são fruto de meras estimativas. Nos últimos meses, alguns palpites formidáveis têm recheado as notícias nos jornais e os discursos polí-ticos. São dados alarmantes, como os supostos 4 milhões de abortos realizados por ano no país, que tem aparecido freqüentemente na imprensa. A estimativa foi atribuída à Organização Mundial da Saúde (OMS), mas lá ninguém assume a autoria da pesquisa. Contar o número de abortos no Brasil é praticamente impos-sível, comenta o epidemiologista Ruy Laurenti, da Faculdade de Saúde Públi-ca da USP. Simplesmente porque o aborto provocado é proibido por lei e, por isso, é feito clandestinamente, sem registro.
Outro caso polêmico é o dos 32 milhões de brasileiros famintos. A conclusão do trabalho do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) é que mais de 9 milhões de famílias passam fome porque têm renda abaixo de dois salários mínimos. Entre várias críticas levantadas à metodologia utilizada, afirma-se que não se pode medir a fome das famílias brasileiras por salários mínimos. Metade da população que vive no campo, por exemplo, não é paga em dinheiro, mas em produtos agrícolas, como mantimentos e animais. Daí, não se poder concluir, com segurança, que toda família sem dinheiro no bolso seja necessariamente faminta.
Uma simples palavra mal definida também pode ser responsável por grandes disparates estatísticos. É o caso do número de desempregados no Brasil. Os índices variam de 1 milhão a 20 milhões de pessoas. Qual o número correto, afinal? Tudo depende do que se entenda por desempregado quem não tem carteira assinada (nesse caso, a pessoa pode trabalhar como autônomo), quem está procurando emprego, ou quem vive de peque-nos negócios, como vender frutas nas esquinas?
Mesmo tomadas todas as precauções, as estatísticas podem ser perigosas para quem as lê desavisadamente. Principalmente em assuntos que representem alguma ameaça à vida. Os hipocondríacos e pessimistas crônicos que o digam. Eles sabem o quanto é fácil se auto-incluir em índices crescentes de mortalidade por doenças graves.
As pessoas se esquecem de que, quando se descobre a cura para uma moléstia, a porcentagem de mortes causadas por ela naturalmente cai, alerta Severo. Mas, como o total de mortes representa sempre 100%, a porcentagem de óbitos por outras doenças tem de subir, avisa Severo aos que se preocupam à toa.
A dica é não confundir possibilidade com probabilidade. Mesmo antes do choque do cometa Shoemaker-Levy 9 contra Júpiter, em julho passado, foi levantada a hipótese de que o mesmo poderia acontecer na Terra. A crença no desastre se fortaleceu quando o Congresso americano anunciou planos de investir 50 milhões de dólares num gigantesco programa de prevenção à queda de cometas por aqui. A idéia dos congressistas americanos é que a NASA desenvolva um siste--ma de rastreamento e destruição de grandes objetos que eventualmente entrem em rota de colisão com o planeta.
Mas qual é a probabilidade real de um cometa ou asteróide atingir a Terra? É de uma vez a cada 100 milhões ou 200 milhões de anos, afirma o astrônomo Augusto Damineli Neto, do Instituto de Astronomia e Geofísica da USP e colaborador de SUPER. Damineli explica que o planeta é bombardeado todos os dias por rochas menores, pesando até um quilo, comuns no espaço. Mas, por serem muito pequenos, esses meteoros desintegram-se assim que entram na atmosfera. Corpos maiores, como o Shoemaker, são bem mais raros. Além disso, a Terra é um alvo minúsculo, em termos astro-nômicos, e, portanto, difícil de acertar.
Como se acredita que o último cometa a passar por aqui tenha sido aquele que eliminou os dinossauros da face da Terra, há 65 milhões de anos, o mais provável é que a NASA tenha de esperar pelo menos outros 35 milhões de anos para colocar em uso as armas de caça a cometas. Ou seja, existe a possibilidade, mas a probabilidade de que isso venha a ocorrer é mínima.
Em se tratando de pesquisa, o mais provável é a única expressão que se pode utilizar. Em Estatística não existem certezas pelo menos enquanto os especialistas não fizerem o pacto com o demônio, tão temido por Santo Agostinho. Ninguém é guru ou adivinho. A única verdade abso-luta sobre Estatística é que, por mais próximo que os resultados estejam da realidade, a probabilidade de se acertar exatamente na ‘mosca' é re-motíssi-ma, diz Bragança Pereira.
Fome atinge 32 milhões de brasileiros.
São realizados 4 milhões de abortos por ano no Brasil.
Por Thereza Venturoli
O homem nem sequer sonhava com eleições de massa, contabilização da miséria ou de abortos quando Santo Agostinho, no século VI, alertou os bons cidadãos contra os matemáticos e todos aqueles que fazem profecias vazias. Segundo Agostinho, o perigo é que eles tenham feito um pacto com o Diabo para obscurecer o espíritio e manter o homen no cativeiro do Inferno.
Pactos demoníacos à parte, ainda hoje é com uma boa dose de ceticismo que o brasileiro encara as chamadas estatísticas. Não importa o que pretendam retratar como vai a saúde ou a economia do país, o que pensa ou como se coporta a população , os grandes números calculados por órgãos oficiais ou institutots particulares são, senão diabólicos, pelo menos muito misteriosos.
A desconfiança tem seus motivos. O brasileiro está se acostumando a assistir a infindáveis bate-bocas sobre a validade dos números que lê. Até parece que atrás de uma pesquisa corre sempre uma polêmica. Quando dois especialistas falam, os que não são do ramo abaixam a orelha. Assim, quem não conhece a metodologia, não sabe o que é variável e nunca viu de perto a tal margem de erro, fica nadando num mar de dúvidas.
Afinal, pode-se ou não confiar no que os números dizem? A dúvida é tanta que o brasileiro já incorporou uma nova palavra ao seu vocabulário: chutometria. O termo pode ser definido como sistema de medir por meio de chutes, quer dizer, por palpites.
Mas nem tudo é tão obscuro ou vago no mundo das estatísticas. A verdade é que elas são fundamentais para a compreensão da realidade. O problema é interpretá-las corretamente. É preciso distinguir, primeiro, os dois tipos de estatísticas as calculadas por amostragem, como as pesquisas sobre a intenção de voto, e as que envolvem a contagem pura e simples, como o censo da população, feito pelo IBGE. Deve-se saber também que há algumas regras básicas empregadas na contabilidade e na generalização dos dados obtidos. E tomar alguns cuidados pra não cair em ciladas.
A única maneira de se conferir o resultado exato de uma eleição é realizá-la hoje mesmo, afirma o estatístico Carlos Alberto de Bragança Pereira. Como isso é impossível, temos de utilizar os métodos de pesquisa por amostragem. Bragança Pereira é diretor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (USP) e foi consultor da Organização dos Estados Americanos (OEA) nas eleições presidenciais do Haiti, El Salvador e Nicarágua.
A amostragem é um dos principais instrumentos da Estatística a área da matemática que lida com os grandes números. Os estatísticos preocupam-se com o levantamento, a organização e a análise dos dados de um conjunto a população de um país, as mulheres de uma cidade ou as moléculas do corpo humano. Isso pode ser feito de duas maneiras: contando todos os elementos do conjunto (quando isso é possível), ou contando uma pequena parte e calculando os re-sultados globais por generalização.
Amostra é uma fatia separada para estudo do universo. É como se alguém quisesse descobrir os ingredientes de um bolo de chocolate sem desmilingüir o bolo inteiro e cortasse, para análise, apenas um pedaço.
Se a farinha, o fermento, o chocolate e os outros elementos estão bem misturados na massa, a proporção empregada de cada ingrediente pode ser inferida de uma fatia qualquer. No caso das pesquisas eleitorais no Brasil, os ingredientes do bolo de 100 milhões de eleitores não estão bem misturados. Apesar disso, podemos chegar a uma projeção muito próxima da realidade falando apenas com uma fatia desse conjunto, de 2 500 pes-soas, garante a estatística Renata Nunes César, gerente do Datafolha, instituto ligado ao jornal Folha de S. Paulo.
A base do método de análise de um todo por suas fatias é a teoria da probabilidade, criada por dois importantíssimos pensadores do século XVII o filósofo, matemático e físico francês Blaise Pascal (1623-1662) e o matemático, também francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Em 1654, eles foram desafiados por grandes apostadores a calcular quanto uma pessoa poderia ganhar ou perder em jogos de moedas, dados, cartas e roleta. Foi assim que surgiram as fórmulas matemáticas que definem as chances de um evento ocorrer.
Hoje, a Estatística é ferramenta indispensável em todas as ciências, biológicas, exatas e sociais. Mas não se pode dizer que seja, ela própria, uma ciência, afirma Bragança Pereira. Não se trata, tampouco, de adivinhação ou magia. É um método de ‘fotografar' o presente e fazer projeções para o futuro.
Para a foto sair com um bom foco, a parcela a ser estudada tem de ser bem escolhida. Voltando ao exemplo do bolo eleitoral brasileiro, para descobrir a quantidade de cada ingrediente que a receita leva, não basta analisar um naco qualquer. É necessário pegar pedaços diferentes e montar uma fatia que seja re-presentativa do bolo inteiro.
Para começar, as pessoas não estão distribuídas igualmente pelo territó-rio nacional. Algumas áreas têm uma po--pulação maior que outras. É preciso fazer entrevistas em proporção à densidade das regiões.
Até esse ponto, os institutos de pesquisa empregam o mesmo sistema de definição da amostra por sorteio e proporcionalidade, explica Örjan Olsén. Sueco, no Brasil há 41 anos, Olsén foi diretor do Ibope e hoje dirige sua própria empresa, a Companhia Brasileira de Pesquisa e Análise (CBPA), em São Paulo. Daí para diante, podem-se seguir dois métodos diferentes: a amostragem probabilística ou por quotas.
Pelo método probabilístico, tudo tem de ser sorteado dentro de cada setor da cidade: primeiro, o quarteirão, depois, o domicílio e, dentro do domicílio, a pessoa a responder o questionário.
Para representar a totalidade dos eleitores brasileiros, os entrevistados têm de se encaixar nos diferentes tipos de pessoas que existem no país. São as chamadas variáveis características, como sexo, idade, ocupação, nível de instrução e si-tuação sócio-econômica, que influem na opinião e no voto de cada um. É a própria experiência que nos mostra quais variáveis devem ser levadas em conta, afirma o veterano estatístico José Severo de Camargo Pereira, professor aposentado da USP e consultor do Instituto Gallup.
Assim, como a população brasileira é composta 50% por homens e outros 50% por mulheres, aproximadamente, o número total de entrevistas tem sempre de ser feito dentro dessa proporção.
Para garantir a proporcionalidade da amostra probabilística, temos um pe-queno pulo-do-gato, conta Severo. Qualquer distorção é corrigida por alguns cálculos matemáticos simples. Essas continhas de chegar são as cha-madas ponderações.
Na pesquisa por quotas, é diferente. Antes de começarem as entrevistas, é determinado quantas pessoas de cada tipo terá de haver no final. Então, o entrevistador já sai procurando um número definido de eleitores para compor a proporção representativa de cada variável.
O principal objetivo do planejamento rigoroso da amostra é garantir a menor margem de erro na pesquisa. Margem de erro significa exatamente o que o nome diz um intervalo controlado dentro do qual podem variar os resultados finais. Ou seja, um estudo bem planejado não elimina o erro, apenas o limita.
O que pode parecer um preciosismo metodológico é muitas vezes o detalhe que faz a diferença. Imagine que o can-didato A tem 34% das intenções de voto e o candidato B, 30%, numa pesquisa com margem de erro de 3%, bastante comum no Brasil. Isso significa que o instituto só afirma que o candidato A está com algo entre 31% e 37% das intenções de voto, e o candidato B, com 27% a 33% das preferências. Eles podem, portanto, estar empatados, com 33%, ou afastados em até dez pontos percentuais. Prestar atenção na margem de erro é o tipo de cuidado que ajuda a avaliar corretamente as porcentagens que bombardeiam o cidadão.
Veja este resultado do censo de 1980: o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) levantou na ocasião que havia no Brasil 41.974.865 pessoas casadas, sendo 21.029.031 homens e 20.945.834 mulheres. Percebeu alguma coisa errada? Claro, se no Brasil legalmente só existe casamento monogâmico e heterossexual (isto é, cada homem só pode se casar com uma e apenas uma única mulher), como é que pode haver um número maior de maridos do que de esposas? É que o IBGE entrevistou pessoas de 15 anos de idade ou mais, explica Severo. Como no interior do país é comum as mulheres se casarem até com 13 anos, estas ficaram fora da contagem.
Este é um exemplo de escorregão metodológico. Mas os números podem enganar de outras maneiras. Um erro no sistema de levantamento de dados, na composição da amostra, na elaboração do questionário ou na interpretação dos resultados, sem falar na forma de divulgação, podem ser fontes de equívoco.
Muitas vezes os números que retratam a realidade brasileira são fruto de meras estimativas. Nos últimos meses, alguns palpites formidáveis têm recheado as notícias nos jornais e os discursos polí-ticos. São dados alarmantes, como os supostos 4 milhões de abortos realizados por ano no país, que tem aparecido freqüentemente na imprensa. A estimativa foi atribuída à Organização Mundial da Saúde (OMS), mas lá ninguém assume a autoria da pesquisa. Contar o número de abortos no Brasil é praticamente impos-sível, comenta o epidemiologista Ruy Laurenti, da Faculdade de Saúde Públi-ca da USP. Simplesmente porque o aborto provocado é proibido por lei e, por isso, é feito clandestinamente, sem registro.
Outro caso polêmico é o dos 32 milhões de brasileiros famintos. A conclusão do trabalho do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) é que mais de 9 milhões de famílias passam fome porque têm renda abaixo de dois salários mínimos. Entre várias críticas levantadas à metodologia utilizada, afirma-se que não se pode medir a fome das famílias brasileiras por salários mínimos. Metade da população que vive no campo, por exemplo, não é paga em dinheiro, mas em produtos agrícolas, como mantimentos e animais. Daí, não se poder concluir, com segurança, que toda família sem dinheiro no bolso seja necessariamente faminta.
Uma simples palavra mal definida também pode ser responsável por grandes disparates estatísticos. É o caso do número de desempregados no Brasil. Os índices variam de 1 milhão a 20 milhões de pessoas. Qual o número correto, afinal? Tudo depende do que se entenda por desempregado quem não tem carteira assinada (nesse caso, a pessoa pode trabalhar como autônomo), quem está procurando emprego, ou quem vive de peque-nos negócios, como vender frutas nas esquinas?
Mesmo tomadas todas as precauções, as estatísticas podem ser perigosas para quem as lê desavisadamente. Principalmente em assuntos que representem alguma ameaça à vida. Os hipocondríacos e pessimistas crônicos que o digam. Eles sabem o quanto é fácil se auto-incluir em índices crescentes de mortalidade por doenças graves.
As pessoas se esquecem de que, quando se descobre a cura para uma moléstia, a porcentagem de mortes causadas por ela naturalmente cai, alerta Severo. Mas, como o total de mortes representa sempre 100%, a porcentagem de óbitos por outras doenças tem de subir, avisa Severo aos que se preocupam à toa.
A dica é não confundir possibilidade com probabilidade. Mesmo antes do choque do cometa Shoemaker-Levy 9 contra Júpiter, em julho passado, foi levantada a hipótese de que o mesmo poderia acontecer na Terra. A crença no desastre se fortaleceu quando o Congresso americano anunciou planos de investir 50 milhões de dólares num gigantesco programa de prevenção à queda de cometas por aqui. A idéia dos congressistas americanos é que a NASA desenvolva um siste--ma de rastreamento e destruição de grandes objetos que eventualmente entrem em rota de colisão com o planeta.
Mas qual é a probabilidade real de um cometa ou asteróide atingir a Terra? É de uma vez a cada 100 milhões ou 200 milhões de anos, afirma o astrônomo Augusto Damineli Neto, do Instituto de Astronomia e Geofísica da USP e colaborador de SUPER. Damineli explica que o planeta é bombardeado todos os dias por rochas menores, pesando até um quilo, comuns no espaço. Mas, por serem muito pequenos, esses meteoros desintegram-se assim que entram na atmosfera. Corpos maiores, como o Shoemaker, são bem mais raros. Além disso, a Terra é um alvo minúsculo, em termos astro-nômicos, e, portanto, difícil de acertar.
Como se acredita que o último cometa a passar por aqui tenha sido aquele que eliminou os dinossauros da face da Terra, há 65 milhões de anos, o mais provável é que a NASA tenha de esperar pelo menos outros 35 milhões de anos para colocar em uso as armas de caça a cometas. Ou seja, existe a possibilidade, mas a probabilidade de que isso venha a ocorrer é mínima.
Em se tratando de pesquisa, o mais provável é a única expressão que se pode utilizar. Em Estatística não existem certezas pelo menos enquanto os especialistas não fizerem o pacto com o demônio, tão temido por Santo Agostinho. Ninguém é guru ou adivinho. A única verdade abso-luta sobre Estatística é que, por mais próximo que os resultados estejam da realidade, a probabilidade de se acertar exatamente na ‘mosca' é re-motíssi-ma, diz Bragança Pereira.
Série Numb3rs
O show é focado igualmente nas relações entre Don Eppes, seu irmão Charlie Eppes e seu pai, Alan Eppes (Judd Hirsch), e na luta dos irmãos contra o crime, normalmente em Los Angeles. Um episódio típico começa com um crime, que é investigado posteriormente por um time de agentes do FBI liderados por Don e matematicamente descritos por Charlie, com a ajuda de Larry Fleinhardt (Peter MacNicol) e/ou Amita Ramanujan (Navi Rawat). Os pensamentos fornecidos pela matemática de Charlie são sempre, de alguma forma, cruciais para a resolução do crime.
No site do TorrentUp é possível baixar os episódios via torrent, acesso pelo link:
http://tup-tvseries.blogspot.com/search/label/Numb3rs
Para quem não sabe usar o Torrent, a dica que dou é usar o uTorrent:
http://www.baixaki.com.br/download/utorrent.htm
Todo episódio que baixar, virá um arquivo .torrent que tendo o uTorrent instalado no computador já reconhece e começa o download.
Não-neutralidade do Uso de Modelos Matemáticos em Sala de Aula
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MELO, T. B. ; CHRISPINO, A. Não-neutralidade do Uso de Modelos Matemáticos em Sala de Aula. In: XV Encontro Brasileiro de Pós-graduando em Educação Matemática, 2011, Campina Grande. Anais do XV EBRAPEM, 2011.
Resumo
Este presente artigo é parte integrante de uma pesquisa de mestrado em andamento no Programa de Pós-Graduação em Ciência, Tecnologia e Educação do CEFET/RJ. O ensaio apresenta reflexões feita a partir de uma revisão bibliográfica sobre a matemática e os modelos matemáticos em uma sociedade tecnológica. Para trabalhar essas reflexões escolhemos um projeto que trate da modelagem matemática no ensino, sob duas temáticas, a saber, “passagem de transporte público” e “jogos de azar”. Nossa pesquisa se caracteriza por uma investigação qualitativa e por uma pesquisa-ação feita em uma sala de aula de um colégio federal no qual o mestrando é professor.
Palavras-chave: Matemática em uma sociedade tecnológica, modelagem matemática no ensino, Educação Matemática Crítica, Ciência-Tecnologia-Sociedade.
MELO, T. B. ; CHRISPINO, A. Não-neutralidade do Uso de Modelos Matemáticos em Sala de Aula. In: XV Encontro Brasileiro de Pós-graduando em Educação Matemática, 2011, Campina Grande. Anais do XV EBRAPEM, 2011.
Resumo
Este presente artigo é parte integrante de uma pesquisa de mestrado em andamento no Programa de Pós-Graduação em Ciência, Tecnologia e Educação do CEFET/RJ. O ensaio apresenta reflexões feita a partir de uma revisão bibliográfica sobre a matemática e os modelos matemáticos em uma sociedade tecnológica. Para trabalhar essas reflexões escolhemos um projeto que trate da modelagem matemática no ensino, sob duas temáticas, a saber, “passagem de transporte público” e “jogos de azar”. Nossa pesquisa se caracteriza por uma investigação qualitativa e por uma pesquisa-ação feita em uma sala de aula de um colégio federal no qual o mestrando é professor.
Palavras-chave: Matemática em uma sociedade tecnológica, modelagem matemática no ensino, Educação Matemática Crítica, Ciência-Tecnologia-Sociedade.
2 de fevereiro de 1970 - Morre Bertrand Russell
"Três paixões, simples mas esmagadoramente fortes, têm governado a
minha vida: o desejo pelo amor, a busca do conhecimento, e a pena
insuportável pelo sofrimento da raça humana". Bertrand Russell
Jornal do Brasil de 1970:
Banco de Questões - OBMEP
Já saiu o banco de questões para estudo da OBMEP 2011. No site da OBMEP pode-se encontrar também questões dos anos anteriores e outros materiais interessantes.Acesso em: www.obmep.org.br.
Deus não faz matemática vagabunda
Uma convocação para decifrar a máquina do mundo por João Moreira Salles.Achei esse artigo da Revista Piauí e resolvi compartilhar. Não preciso questionar a qualidade, só olhar o autor.
Provas de processos seletivos
Achei este site de um cursinho que resolve as provas dos processos seletivos. Vale a pena conferir.
http://cursomentor.com/tag/matematica/
Em especial, confira a resolução do processo seletivo do ensino técnico integrado com o médio do IFRJ, edital 2010:
http://cursomentor.com/provas-e-gabaritos/vestibulares/ifrj-cefeteq/
http://cursomentor.com/tag/matematica/
Em especial, confira a resolução do processo seletivo do ensino técnico integrado com o médio do IFRJ, edital 2010:
http://cursomentor.com/provas-e-gabaritos/vestibulares/ifrj-cefeteq/
O Último Teorema de Fermat - Documentário
Dia 17 de agosto deste ano, o site de busca Google homenageou Pierre de Fermat. O último teorema de Fermat demorou mais de 3 século para ser demonstrado publicamente. Uma história muito bacana que mostra que a Matemática é uma construção humana espetacular.
Abaixo postarei o documentário da BBC que fala sobre a história da demonstração do teorema. Ele está dividido em 4 partes para facilitar.
Abaixo postarei o documentário da BBC que fala sobre a história da demonstração do teorema. Ele está dividido em 4 partes para facilitar.
O Programa Etnomatemática como Humanizador do Ensino de Matemática
CLIQUE AQUI PARA BAIXAR O TEXTO COMPLETO
MELO, T. B. ; Fantinato, M. C. de C. B. ; THEES, A. V. ; Silveira, Alexis ; SOARES, G. A. . O Programa Etnomatemática como Humanizador do Ensino de Matemática. In: XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011, Recife. Anais da XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011.
Resumo
Este artigo tem por finalidade trazer algumas reflexões acerca do potencial humanizador do programa etnomatemática. Este estudo foi motivado pelas discussões desenvolvidas pelos autores, integrantes do Grupo de Etnomatemática da UFF. A metodologia empregada foi a pesquisa bibliográfica, tomando como base autores das Ciências Sociais e da etnomatemática, estabelecendo um dialógo entre eles. Pretende-se levantar alguns desafios para humanização do ensino de matemática, identificando algumas contribuições do programa etnomatemática para a prática docente e para a formação de professores.
Palavras-chaves: Programa Etnomatemática; Humanização do Ensino de Matemática; Prática Docente.
MELO, T. B. ; Fantinato, M. C. de C. B. ; THEES, A. V. ; Silveira, Alexis ; SOARES, G. A. . O Programa Etnomatemática como Humanizador do Ensino de Matemática. In: XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011, Recife. Anais da XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011.
Resumo
Este artigo tem por finalidade trazer algumas reflexões acerca do potencial humanizador do programa etnomatemática. Este estudo foi motivado pelas discussões desenvolvidas pelos autores, integrantes do Grupo de Etnomatemática da UFF. A metodologia empregada foi a pesquisa bibliográfica, tomando como base autores das Ciências Sociais e da etnomatemática, estabelecendo um dialógo entre eles. Pretende-se levantar alguns desafios para humanização do ensino de matemática, identificando algumas contribuições do programa etnomatemática para a prática docente e para a formação de professores.
Palavras-chaves: Programa Etnomatemática; Humanização do Ensino de Matemática; Prática Docente.
Relações Históricas entre os Jogos de Azar e a Probabilidade
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MELO, T. B. ; REIS, J. C. . Relações Históricas entre os Jogos de Azar e a Probabilidade. In: XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011, Recife. Anais da XIII CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2011.
Resumo
Este trabalho é parte integrante de uma pesquisa de mestrado em Ciência, Tecnologia e Educação do CEFET/RJ, seu objetivo é partir de uma relação histórico-social entre a matemática e os jogos de azar. Na revisão bibliográfica encontramos no início do enfoque clássico da probabilidade uma relação intrínseca com os jogos de azar. A saber, são exemplos dessa relação a busca por uma melhor solução do “problema dos pontos” e as obras Liber de Ludo Aleae de Cardano e Sopra le Scoperte dei Dadi de Galileu. Após isso, vemos uma vantagem em usar a história como elemento de aprendizagem no ensino de matemática, propondo uma atividade pedagógica envolvendo a probabilidade e os jogos de azar.
Palavras-chave: Enfoque clássico da probabilidade; jogos de azar; história no ensino de matemática.
Saberes cotidianos de jovens e adultos e prática docente na perspectiva da etnomatemática
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Fantinato, M. C. de C. B. ; MELO, T. B. ; GILS, A. L. ; Silveira, Alexis ; THEES, A. ; SOARES, G. A. . SABERES COTIDIANOS DE JOVENS E ADULTOS E PRÁTICA DOCENTE NA PERSPECTIVA DA ETNOMATEMÁTICA. In: III Congresso Internacional Cotidiano - diálogos sobre diálogos, 2010, Niterói - RJ. III Congresso Internacional Cotidiano - diálogos sobre diálogos, 2010.
RESUMO
Este trabalho refere-se a uma pesquisa em andamento, desenvolvida coletivamente pelo Grupo de Etnomatemática da UFF e coordenada pela autora principal deste texto, pesquisadora integrante do Programa de Pós-Graduação em Educação – Mestrado e Doutorado da Universidade Federal Fluminense, junto ao Campo de Confluência Ciências Sociedade e Educação. Tem por objetivo identificar as contribuições da formação continuada na perspectiva da etnomatemática na compreensão dos processos de construção dos saberes de alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA), das formas como esses processos e saberes são articulados nas aprendizagens matemáticas que têm lugar nas salas de aula e do papel exercido pelos professores de Matemática nesta mediação. Esta pesquisa situa-se na zona de confluência de várias áreas, entre elas, a educação matemática (Fonseca, 2002; Fiorentini & Nacarato, 2005) a educação de jovens e adultos (Fávero, 2009; De Vargas, 2003), a formação de professores (Tardif, 2002) e a etnomatemática (D´Ambrosio, 2001; Domite, 2004; Fantinato, 2009). A pesquisa do grupo representa uma continuidade da linha de investigação desenvolvida pela coordenadora da equipe há cerca de dez anos, que analisa as contribuições da etnomatemática para a EJA, buscando as possibilidades de articulações entre os saberes matemáticos de jovens e adultos construídos em suas práticas sociais cotidianas e o exercício docente voltado para esta modalidade de ensino. Trata-se de pesquisa de natureza qualitativa, cujos procedimentos metodológicos principais são a pesquisa bibliográfica, a entrevista com professores de Matemática da EJA e a observação participante da prática docente. Alguns resultados já apontam que um trabalho na perspectiva da etnomatemática propicia um processo de legitimação em via de mão-dupla, ou seja, ao dar voz a seus alunos, os professores estão sendo também legitimados em seus saberes docentes (Fantinato & Santos, 2007; Gils, 2010). As práticas docentes que tomam como referencial a cultura discente instituem uma dialogicidade (Freire, 1974) que interfere na forma de aprender dos alunos e na forma de ensinar dos professores da EJA, contribuindo para o fortalecimento de sua identidade profissional.
Palavras-chave: etnomatemática; educação de jovens e adultos; prática docente; saberes discentes.
Artigos - Educação Matemática Crítica
SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema, nº 14, pp. 66 a 91, 2000.
SKOVSMOSE, O. COMPETENCIA DEMOCRÁTICA Y CONOCIMIENTO REFLEXIVO EN MATEMÁTICAS, Revista EMA, v. 2, n. 3, p. 191-216, 1997.
Pais, Alexandre; Alves, Ana Sofía; Fernandes, Elsa; Gerardo, Helena; Amorim, Isabel; Matos, Joao Filipe; Mesquita, Mônica (2008). O conceito de crítica em educação matemática e perspectivas de investigação. En Luengo, Ricardo; Gómez, Bernardo; Camacho, Matías; Blanco, Lorenzo (Eds.), Investigación en educación matemática XII (pp. 725-734). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
Alves, Ana Sofía; Matos, João Filipe (2008). Educação matemática crítica na escola. En Luengo, Ricardo; Gómez, Bernardo; Camacho, Matías; Blanco, Lorenzo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XII (pp. 709-716). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
FIALHO, C.; MATOS, J.F., ALVES, A. Cidadania e educação matemática crítica: investigação sobre o contributo da educação matemática na formação de cidadãos participativos e críticos. In: Actas do Seminário de Investigação em Educação Matemática. Santarém: Associação de Professores de Matemática, 2003.
ARAÚJO, Jussara L. Uma abordagem sócio-crítica da modelagem matemática: a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 55-68, jul. 2009.
CURY, H. N., BAZZO, W. A. Formação crítica em matemática: uma questão curricular? Bolema, v.14, n. 16, p.29 - 47, 2001.
PINHEIRO, Nilcéia A. M. . Formar cidadãos crítico-reflexivos: a contribuição da matemática. Semina. Ciências Sociais e Humanas (Online), v. 28, p. 81-91, 2007.
PAIVA, A. M. S de. SÁ, I. P de. Educação matemática crítica e práticas pedagógicas. Revista Iberoamericana de Educación, 55 (2), março/2011.
SKOVSMOSE, O. COMPETENCIA DEMOCRÁTICA Y CONOCIMIENTO REFLEXIVO EN MATEMÁTICAS, Revista EMA, v. 2, n. 3, p. 191-216, 1997.
Pais, Alexandre; Alves, Ana Sofía; Fernandes, Elsa; Gerardo, Helena; Amorim, Isabel; Matos, Joao Filipe; Mesquita, Mônica (2008). O conceito de crítica em educação matemática e perspectivas de investigação. En Luengo, Ricardo; Gómez, Bernardo; Camacho, Matías; Blanco, Lorenzo (Eds.), Investigación en educación matemática XII (pp. 725-734). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
Alves, Ana Sofía; Matos, João Filipe (2008). Educação matemática crítica na escola. En Luengo, Ricardo; Gómez, Bernardo; Camacho, Matías; Blanco, Lorenzo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XII (pp. 709-716). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
FIALHO, C.; MATOS, J.F., ALVES, A. Cidadania e educação matemática crítica: investigação sobre o contributo da educação matemática na formação de cidadãos participativos e críticos. In: Actas do Seminário de Investigação em Educação Matemática. Santarém: Associação de Professores de Matemática, 2003.
ARAÚJO, Jussara L. Uma abordagem sócio-crítica da modelagem matemática: a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 55-68, jul. 2009.
CURY, H. N., BAZZO, W. A. Formação crítica em matemática: uma questão curricular? Bolema, v.14, n. 16, p.29 - 47, 2001.
PINHEIRO, Nilcéia A. M. . Formar cidadãos crítico-reflexivos: a contribuição da matemática. Semina. Ciências Sociais e Humanas (Online), v. 28, p. 81-91, 2007.
PAIVA, A. M. S de. SÁ, I. P de. Educação matemática crítica e práticas pedagógicas. Revista Iberoamericana de Educación, 55 (2), março/2011.
Lista de exercício - Fatoração
1. Fatore:
a) 3x² y² + b xy² -
12 x³y²z
b) 1 – x 4
c) 25x4
y² – 30x² yz³ + 9z6
d) y² – 5y –14
e) 6ax +2ay – 3x –
3y
f) 1 – 6x + 12x² –
8x³
2. Simplifique o
máximo possível:
a) 
b) 
c) \cdot%20\left%20(a-\frac{1}{a}%20\right%20))
d) 
e) 
f) 
(i) a soma dos quadrados.
(ii) a soma dos
inversos.
(iii) a soma das quarta
potências.
4. Calcule 
.
5. Efetue o produto \left(x+1 \right )\left(x^2+1 \right )\left(x^4+1 \right )\left(x^8+1 \right )\left(x^{16}+1 \right )\left(x^{32}+1 \right )\left(x^{64}+1 \right ) "\dpi{100} \left (x-1 \right )\left(x+1 \right )\left(x^2+1 \right )\left(x^4+1 \right )\left(x^8+1 \right )\left(x^{16}+1 \right )\left(x^{32}+1 \right )\left(x^{64}+1 \right )")
.
6. Se x é um número real tal que 
, determine o valor de 
.
Artigos - Metodologia
Postarei aqui alguns artigos que já e julgo que vale a pena compartilhar.
Chizzotti, A. A pesquisa qualitativa em ciências humanas e sociais: evolução e desafios. Revista Portuguesa de Educação, 2003, 16(2), pp. 221-236.
Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educação matemática. Bolema, 25, 105-132.
Gondim, S.M. (2002). Grupos focais como técnica de investigação qualitativa: Desafios metodológicos. Paidéia. Cadernos de Psicologia e Educação, 12(24), 149-161
Tripp, D. Pesquisa-ação: uma introdução metodológica. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 3, p. 443-466, set./dez. 2005.
Franco, M. A. S. Pedagogia da Pesquisa-Ação. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 3, p. 483-502, set./dez. 2005.
Chizzotti, A. A pesquisa qualitativa em ciências humanas e sociais: evolução e desafios. Revista Portuguesa de Educação, 2003, 16(2), pp. 221-236.
Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educação matemática. Bolema, 25, 105-132.
Gondim, S.M. (2002). Grupos focais como técnica de investigação qualitativa: Desafios metodológicos. Paidéia. Cadernos de Psicologia e Educação, 12(24), 149-161
Tripp, D. Pesquisa-ação: uma introdução metodológica. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 3, p. 443-466, set./dez. 2005.
Franco, M. A. S. Pedagogia da Pesquisa-Ação. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 3, p. 483-502, set./dez. 2005.
Mais exercícios para estudo.
Atenção ALUNOS.
Estou disponibilizando mais exercícios para estudar para recuperação.
Segue o link com o arquivo:
CLIQUE AQUI
Abraços. Bons estudos.
Exercícios tirado do livro do Gelson Iezzi.
Estou disponibilizando mais exercícios para estudar para recuperação.
Segue o link com o arquivo:
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Abraços. Bons estudos.
Exercícios tirado do livro do Gelson Iezzi.
Números e Numerais - História da Matemática
No link abaixo é possível baixar em formato PDF o livro de Bernard H. Gundlach sobre a História da Matemática (Números e Numerais).
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